Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AE = BK = CP = DQ (gt)

Suy ra: EB = KC = PD = QA

* Xét ΔAEQ và ΔBKE,ta có:

AE = BK (gt)

∠(EAQ) = ∠(KBE) = 900

QA = EB (chứng minh trên)

Suy ra: △AEQ = △BKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1)

* Xét △BKEvà △CPK,ta có: BK = CP (gt)

             ∠(KBE) = ∠(PCK) = 900

             EB = KC ( chứng minh trên)

Suy ra: △BKE = △CPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)

* Xét △CPK và △DQP,ta có: CP = DQ (gt)

             ∠C = ∠D = 900

             DP = CK ( chứng minh trên)

Suy ra: △CPK = △DQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQ

Hay tứ giác EKPQ là hình thoi.

Mặt khác: △AEQ = △BKE

⇒ ∠(AQE) = ∠(BEK)

Mà ∠(AQE) + ∠(AEQ) = 900

⇒ ∠(BEK) + ∠(AEQ) = 900

Ta có: ∠(BEK) + ∠(QEK) + ∠(AEQ ) = 1800

Suy ra: ∠(QEK ) = 1800 -( ∠(BEK ) + ∠(AEQ) )= 1800 - 900 = 900

Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.