Cho hình vuông ABCD tâm O, có cạnh a. Biết M là trung điểm của AB (tham khảo hình vẽ). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
16/22
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm O, có cạnh \(a\). Biết \(M\) là trung điểm của \(AB\) (tham khảo hình vẽ). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} \).
b) \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \).
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} = {a^2}\).
d) \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \).
b) M là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DM} \).
c) \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = - {a^2}.\cos 45^\circ = - \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\].
d) Có \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB} \)\( = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|.\left| {\overrightarrow {DB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} } \right)\)\( = a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = {a^2}\).
\(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \frac{a}{2}.a\sqrt 2 .\cos 135^\circ = - \frac{1}{2}{a^2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\).