Cho hình vuông ABCD tâm O , có cạnh a . Biết M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ADM . Khi đó: a) vecto AB ⋅ vecto CA = a^2

14/22

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, có cạnh $a$. Biết $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ADM$. Khi đó:

a) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = {a^2}$

b) $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{3}$

c) $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}$

d) $(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} ) = {a^2}$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

$Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, (ảnh 1)$

Độ dài đường chéo hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ là $AC = BD = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 $.

Ta có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - |\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {AC} | \cdot \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )$

=−AB⋅AC⋅cosBAC^=−a⋅a2⋅cos45°=−a2AM→⋅AC→=|AM→|⋅|AC→|⋅cos(AM→,AC→)=AM⋅AC⋅cosCAM^=a2⋅a2⋅cos45°=a22.

Ta có: $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {AC} = |\overrightarrow {DA} | \cdot |\overrightarrow {DB} | \cdot \cos (\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} $

=DA⋅DB⋅cosADB^−12AD⋅AC⋅cosCAD^=a⋅a2⋅cos45°−12a⋅a2⋅cos45°=a2−12a2=12a2.

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $ (quy tắc hình bình hành).

Do đó: $(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} )$

=AC→⋅BD→⏟0+AC→⋅BC→=CA→⋅CB→=|CA→|⋅|CB→|cosACB^=a⋅a2cos45°=a2

(trong đó $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$ vì $\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} $ ).