Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm CM và DA

a) Ta có: M1^ = M2^ (2 góc đổi đỉnh)

⇒ΔAMP = ΔBMC(g . c . g)⇒MP = MC

Xét tứ giác APBC có AB và CP là 2 đường chéo nhau tại trung điểm mỗi đường nên APBC là hình bình hành.
Vì APBC là hình bình hành nên BC // AP⇒BC // DP mà BC ⊥CD

⇒ BCDP là hình thang vuông (Điều phải chứng minh).
b) Nhận xét: SADC = SABC = SABP và đặt SADC = SABC = SABP = a

Khi đó:2SBCDP = 2 . 3a = 6a; 3SAPBC = 3 . 2a = 6a

Suy ra đpcm.

c) Vì M là trung điểm của AB nên BM = 12AB

Vì N là trung điểm của BC nên CN = 12BC mà AB = BC⇒BM = CN⇒ΔCBM = ΔDCN(c . g . c)⇒C1^ = D1^

mà ΔDCN vuông tại C nên

D1^ + N1^ = 90o⇒C1^ + N1^ = 90o⇒CQN^ = 90o

⇒ΔPDQ vuông tại Q.
Xét ΔPDQ vuông tại Q, có QA là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒QA = 12PD = AD mà AD = AB⇒AQ = AB (Điều phải chứng minh).