Cho hình vuông ABCD. Gọi S1 là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD. S2 là diện tích
5/5
Cho hình vuông ABCD.
Gọi \({S_1}\) là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD. \({S_2}\) là diện tích phần còn lại của hình vuông nằm ngoài hai nửa đường trong nói trên (như hình vẽ trên).Tính \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Ta cm được:
\({S_3} = {S_4} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}.\pi .90}}{{360}} - \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)\)
\({S_1} = {S_3} + {S_4} = \frac{{{a^2}}}{4}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) + \frac{{{a^2}}}{4}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)\)
\({S_2} = \frac{1}{2}{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\left( {\frac{3}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\)
Do đó \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)}}{{\frac{{{a^2}}}{2}\left( {\frac{3}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{{\pi - 2}}{{6 - \pi }}\).