Cho hình vuông ABCD ; E là trung điểm của AB , F là điểm sao cho vecto AF = 1/3 vecto AD . Xác định vị trí của điểm M trên đường thẳng BC sao cho góc EFM = 90 độ

Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình vuông.

Xét hệ trục toạ độ \(xOy\) sao cho \(D \equiv O = (0;0),C = (a;0),A = (0;a)\).

Dễ thấy \(E = \left( {\frac{a}{2};a} \right);F = \left( {0;\frac{{2a}}{3}} \right)\).

Giả sử \(M = (a;y)\quad (y \in \mathbb{R}).\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {FE}  = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{3}} \right)}\\{\overrightarrow {FM}  = \left( {a;y - \frac{{2a}}{3}} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy ta có biến đổi tương đương:

\(EF \bot FM\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {FE}  \cdot \overrightarrow {FM}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{a}{3}\left( {y - \frac{{2a}}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 5a}}{6}.\)

Vậy \(M\left( {a;\frac{{ - 5a}}{6}} \right)\).

Từ đó \(M\) là điểm nằm trên phần kéo dài của \(BC\) về phía \(C\) sao cho \(CM = \frac{{5a}}{6}\).