Cho hình vuông ABCD , điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = AC^4 . Gọi N là trung điểm CD . Khi đó BMN là tam giác vuông cân tại đỉnh nào?

Đặt \(\overrightarrow {AD}  = \vec a,\overrightarrow {AB}  = \vec b\).

Khi đó: \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{4}(\vec a + \vec b)\)

\(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \vec a + \frac{1}{2}\vec b\)

\(\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM}  = \vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}( - \vec a + 3\vec b)\) và

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \vec a + \frac{1}{2}\vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}(3\vec a + \vec b)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {MN}  = \frac{1}{{16}}( - \vec a + 3\vec b)(3\vec a + \vec b) = \frac{1}{{16}}\left( { - 3{{\vec a}^2} + 3{{\vec b}^2} + 8\vec a \cdot \vec b} \right)\)

\( = \frac{1}{{16}}\left( { - 3A{D^2} + 3A{B^2} + 0} \right) = 0 \Rightarrow MB \bot MN(1)\).

Hơn nữa: \({\overrightarrow {MB} ^2} = \frac{1}{{16}}{( - \vec a + 3\vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {{{\vec a}^2} + 9{{\vec b}^2} - 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {A{D^2} + 9A{B^2} - 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}\);

\({\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{1}{{16}}{(3\vec a + \vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {9{{\vec a}^2} + {{\vec b}^2} + 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {9A{D^2} + A{B^2} + 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}\).

Suy ra \[MB = MN\](2). Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta BMN\)vuông cân tại đỉnh \[M.\]\(\)