Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 15 cm. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho góc MAN = 45 độ. Tính chu vi của tam giác

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA = 15\) cm.

Trên tia đối của tia \(BC,\) lấy điểm \(F\) sao cho đoạn \(BF = DN.\)

Xét \(\Delta ABF\) vuông tại \(B\) và \(\Delta ADN\) vuông tại \(D\) có: \(AB = AD,\) \(BF = DN.\)

Do đó \(\Delta ABF = \Delta ADN\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(AF = AN\) và \(\widehat {{A_4}} = \widehat {{A_1}}.\)

Ta có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}} = \widehat {BAD} - \widehat {{A_2}} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {FAM} = \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}} = \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_1}} = 45^\circ .\)

Xét \(\Delta FAM\) và \(\Delta NAM\) có:

\(AM\) là cạnh chung, \(\widehat {FAM} = \widehat {NAM} = 45^\circ ,\) \(AF = AN\)

Do đó \(\Delta FAM = \Delta NAM\) (c.g.c). Suy ra \(FM = MN.\)

Mà \(FM = FB + BM = DN + BM\) nên \(MN = DN + BM.\)

Chu vi của tam giác \(\Delta CMN\) là:

\(CM + CN + MN\)\( = CM + CN + DN + BM\)

\( = \left( {CM + BM} \right) + \left( {CN + DN} \right)\)

\( = BC + CD = 15 + 15 = 30\) (cm).

Đáp án: 30.