Cho hình vuông ABCD có diện tích không đổi và điểm M thay đổi trên đường chéo AC

Ta có: \({S_{DEF}} = {S_{DEM}} + {S_{DMF}} + {S_{MEF}};\) \({S_{AEFC}} = {S_{AEM}} + {S_{MFC}} + {S_{MEF}};\)

  \({S_{DEM}} = {S_{AEM}}\left( { = \frac{1}{2}AE \cdot EM} \right);\) \({S_{DMF}} = {S_{MFC}}\left( { = \frac{1}{2}FC \cdot FM} \right).\)

Suy ra \({S_{DEF}} = {S_{AEFC}} = {S_{ABC}} - {S_{BEF}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} - \frac{1}{2}BE \cdot BF\)

Chứng minh bất đẳng thức: \[ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\] với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) vào tích \(BE \cdot BF,\) ta được: \[BE \cdot BF \le {\left( {\frac{{BE + BF}}{2}} \right)^2}.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(BE = BF.\)

Ta có tứ giác \[BEMF\] là hình chữ nhật (do \(\widehat B = \widehat E = \widehat F = 90^\circ )\) nên \(ME = BF.\)

Xét \(\Delta AME\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {EAM} = 45^\circ \) (do \(AC\) là đường chéo của hình vuông \(ABCD\) nên \(AC\) là tia phân giác của góc \(\widehat {BAD})\) nên \(\Delta AME\) vuông cân tại \(E\).

Suy ra \(AE = ME.\) Như vậy \(BF = AE.\)

Ta có: \(BE \cdot BF \le {\left( {\frac{{BE + BF}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{BE + EA}}{2}} \right)^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\)

Suy ra \({S_{DEF}} \ge \frac{1}{2}{S_{ABCD}} - \frac{1}{8}{S_{ABCD}} = \frac{3}{8}{S_{ABCD}}.\) (đơn vị diện tích).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(BE = BF = AE\) hay \(E\) là trung điểm của \(AB,\) lúc này từ tính chất đường trung bình ta suy ra được điểm \(M\) phải là trung điểm của \(AC\).

Vậy nếu \(M\) là trung điểm của \(AC\) thì tam giác \(DEF\) có diện tích nhỏ nhất.