Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4. Lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho góc SBH = 30°.

28/40

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $4$. Lấy $H,{\rm{ }}K$ lần lượt trên các cạnh $AB,{\rm{ }}AD$ sao cho $BH = 3HA,$$AK = 3KD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ tại $H$ lấy điểm $S$ sao cho $\widehat {SBH} = 30^\circ $. Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1.Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{16\sqrt 3 \;}}{3}$.

2.Khoảng cách giữa \[AB\] và \[SD\] bằng $\frac{{4\sqrt {57} \;}}{{19}}$.

3. $SH = \sqrt 3 $.

4.Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ và $BK$, \[{\rm{cosin}}\] của góc giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng $\frac{m}{{n\sqrt {39} }}$ với $m \in \mathbb{Z};\,\,n \in {\mathbb{N}^*};\,\,\,\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T = 2m - n = 31$.

Giải thích

$3. Đúng. Theo câu 1, $SH = \sqrt 3 $. (ảnh 1)$

1. Sai. Ta có ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot {4^2} = 8$.

Ta có $BH = \frac{3}{4}BA = 3$. Xét $\Delta SHB$ vuông tại $H$, có $SH = BH \cdot \tan \widehat {SBH} = 3 \cdot \tan 30^\circ = \sqrt 3 $.

Khi đó ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt 3 \cdot 8 = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}$.

2. Đúng. Có $AB//CD$ nên $AB//\left( {SCD} \right)$.

Khi đó $d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)$.

Kẻ $HJ \bot CD,HI \bot SJ$.

Dễ dàng chứng minh $HI \bot \left( {SCD} \right)$. Khi đó $d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI$.

Xét $\Delta SHJ$ vuông tại $H$, có $HI \bot SJ$, ta có $\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{16}} = \frac{{48}}{{19}} \Rightarrow HI = \frac{{4\sqrt {57} }}{{19}}$.

3. Đúng. Theo câu 1, $SH = \sqrt 3 $.

4. Đúng.

$3. Đúng. Theo câu 1, $SH = \sqrt 3 $. (ảnh 2)$

Kẻ $EM//BC$. Khi đó $EM \bot AB$ mà $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot ME$.

Do đó $EM \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow EM \bot SM$.

Ta có $\left( {SE,BC} \right) = \left( {SE,EM} \right) = \widehat {SEM}$.

Dễ dàng chứng minh được $HC \bot BK$ tại $E$.

Có $EM//BC$ nên $\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{ME}}{{BC}}$.

Xét $\Delta BHC$ vuông tại $B$, có $BE$ là đường cao nên $B{H^2} = HE \cdot HC$, $H{C^2} = B{H^2} + B{C^2}$.

Ta có $\frac{{ME}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HE \cdot HC}}{{H{C^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{H{C^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{B{H^2} + B{C^2}}} = \frac{{{3^2}}}{{{3^2} + {4^2}}} = \frac{9}{{25}}$.

Suy ra $ME = \frac{9}{{25}} \cdot BC = \frac{9}{{25}} \cdot 4 = \frac{{36}}{{25}}$; $HE = \frac{9}{{25}}HC = \frac{9}{{25}} \cdot \sqrt {{3^2} + {4^2}} = \frac{9}{5}$.

Xét $\Delta SHE$ vuông tại H, có $SE = \sqrt {S{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {3 + {{\left( {\frac{9}{5}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {39} }}{5}$.

Xét $\Delta SHE$ vuông tại $H$ có $\cos \widehat {SEM} = \frac{{ME}}{{SE}} = \frac{{36}}{{25}}:\frac{{2\sqrt {39} }}{5} = \frac{{18}}{{5\sqrt {39} }}$.

Suy ra $m = 18;n = 5$. Vậy $2m - n = 2 \cdot 18 - 5 = 31$. Chọn 2, 3, 4.