Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và cung là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB (tham khảo hình vẽ). Gọi M là một điểm di động trên cung . Tiếp tuyến với cung tại \(M\

Đặt \(DP = x\) và \(BQ = y\) (với \(0 \le x,y \le 1\)).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: \(PM = PD = x \Rightarrow PC = 1 - x\); \(QM = QB = y \Rightarrow QC = 1 - y\).

Độ dài đoạn \(PQ = PM + MQ = x + y\).

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(PCQ\):

\(P{Q^2} = P{C^2} + Q{C^2} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2}\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} = 1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2} \Leftrightarrow 2xy = 2 - 2x - 2y \Leftrightarrow xy + x + y = 1\)\( \Rightarrow y\left( {x + 1} \right) = 1 - x \Rightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\).

Khi đó độ dài cạnh \(PQ\) là: \(f\left( x \right) = x + y = x + \frac{{1 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;1} \right]\):

\(f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\mathop \to \limits^{x \in \left[ {0;1} \right]} x = - 1 + \sqrt 2 \approx 0,41\).

Kết quả: 0,41.