Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k . Tập hợp điểm M sao cho vecto MA ⋅ vecto MC + vecto MB ⋅ vecto MD = k là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Gọi I là tâm của hình vuông \(ABCD\)

Ta có \(:\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MC}  = (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} )\) \( = (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IA} ) = {\overrightarrow {MI} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2} = M{I^2} - I{A^2}\).

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {MD}  = M{I^2} - I{B^2}\).

Khi đó: \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {MD}  = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - I{A^2} - I{B^2} = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - 2I{A^2} = k\)

\( \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + I{A^2} \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \)

(trong đó \(I{A^2} = {\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)).

Nếu \(k <  - {a^2}\): Tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.

Nếu \(k =  - {a^2}\) thì \(MI = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\) (điểm \(M\) trùng với điểm \(I\)).

Nếu \(k >  - {a^2}\) thì \(MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).

Khi đó tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).