Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

Lời giải.

a) \[\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD} = 0\]

\[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = - A{B^2} = - {a^2}.\]

b) \[\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right)\]

 \[ = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} \]

\[ = - {a^2} - \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + A{D^2}\]

\[ = - 0 + DA \cdot DB \cdot \cos 45\]

\[ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}.\]