Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M thuộc AB, N thuộc AD sao

Vẽ tia Cx vuông góc với CN tại C, cắt AB tại E.

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {MCN} + \widehat {{C_3}} = 90^\circ \)

\(\widehat {{C_2}} + \widehat {MCN} + \widehat {{C_3}} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

Xét tam giác CDN và tam giác CBE có:

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

CD = CB

\[\widehat {CDN} = \widehat {CBE} = 90^\circ \]

⇒ ∆CDN = ∆CBE (c.g.c)

⇒ CN = CE; DN = BE

Xét: AM + AN + ME

= AM + AN + MB + BE

= AM + AN + MB + ND (vì BE = ND, chứng minh trên)

= AM + MB + AN + ND

= AB + AD = 2a

Suy ra: AM + AN + ME = AM + AN + MN = 2a

Vậy MN = ME

Xét tam giác CMN và tam giác CME có:

CN = CE

Chung CM

MN = ME

⇒ ∆CMN = ∆CME (c.c.c)

⇒ \(\widehat {MCN} = \widehat {ECM}\)

Mà \(\widehat {MCN} + \widehat {ECM} = 90^\circ \)(do CE vuông góc CN)

Vậy \(\widehat {MCN} = 45^\circ \).