Cho hình vuông ABCD cạnh a . Lấy E là trung điểm của BC , điểm F thoả mãn vecto BF = 3/4 vecto BD Khi đó:
13/22
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Lấy \(E\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(F\) thoả mãn \(\overrightarrow {BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} \) Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)
b) \(\overrightarrow {AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AD} .\)
c) \(\overrightarrow {EF} = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\)
d) Tam giác \(AEF\)vuông cân.
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\\\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\end{array}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EF} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = \frac{{ - 3}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{3}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = 0 \Rightarrow AF \bot EF{\rm{. }}\)
Ta có: \({\overrightarrow {AF} ^2} = {\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}\).
\({\overrightarrow {EF} ^2} = {\left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}.\)
\( \Rightarrow A{F^2} = E{F^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2} \Rightarrow AF = EF\). Vậy tam giác \(AEF\) vuông cân tại \(F\).
Chú ý: Ta có thể chứng minh tam giác \(AEF\) vuông bằng định lí Pythagore.