Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh có đường tròn (O; R) đi qua các đỉnh của hình vuông và có đường tròn (O; r) tiếp xúc với các cạnh của hình vuông. T

⦁ Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó OA = OB = OC = OD và AC ⊥ BD.

Vì ABCD là hình vuông ABCD nên nó nội tiếp đường tròn (O; R) với bán kính là \(R = OA = OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

⦁ Trong tam giác AOD vuông cân tại O (do OA = OD và \(\widehat {AOD} = 90^\circ \)), vẽ đường cao OP, khi đó OP cũng đồng thời là đường trung tuyến của tam giác AOD.

Do đó \(OP = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Tương tự, ta có điểm O cách đều các cạnh của hình vuông một khoảng \(\frac{a}{2}.\)

Do đó, đường tròn (O; r) với \(r = \frac{a}{2}\) tiếp xúc với các cạnh của hình vuông ABCD.