Cho hình vuông A B C D có cạnh bằng 4 . Gọi hai điểm M và I lần lượt là trung điểm của AB và MC . Một parabol có đỉnh là D và đi qua điểm B , đường tròn tâm I đường kính MC n

Xét hệ trục tọa độ có gốc tọa độ đặt tại điểm D và tia Ox trùng với tia DC, tia Oy trùng với tia DA.

Parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2}\) đi qua \(B\left( {4;4} \right)\) nên \(4 = {4^2} \cdot a \Rightarrow a = \frac{1}{4}\), suy ra \(y = \frac{1}{4}{x^2} \Rightarrow x = 2\sqrt y \).

Ta xác định được \(M\left( {2;4} \right)\) và \(C\left( {4;\,0} \right)\) nên đường tròn có tâm \(I\left( {3;\,2} \right)\) và bán kính \(R = IC = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \) có phương trình là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).

Suy ra \[{\left( {x - 3} \right)^2} = 5 - {\left( {y - 2} \right)^2} \Leftrightarrow 3 - x = \sqrt {5 - {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \Leftrightarrow x = 3 - \sqrt {5 - {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \].

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường tròn là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}{x^2} - 2} \right)^2} = 5\).

\(\left( P \right)\) và đường tròn có hai giao điểm là \(B\left( {4;\,4} \right)\) và \(N\left( {{x_N};\,{y_N}} \right) \Rightarrow \)\({x_N} \approx 1,37 \Rightarrow {y_N} \approx 0,469225\).

Thể tích vật thể cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^{0,469225} {{{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}{\rm{d}}y} + \pi \int\limits_{0,469225}^4 {{{\left( {3 - \sqrt {5 - {{\left( {y - 2} \right)}^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}y} \approx 14,46\).