Cho hình vuông A B C D cạnh a . Khẳng định nào sau đây đúng?

9/15

Cho hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a.\] Khẳng định nào sau đây đúng?

Đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a\] có tâm là điểm \[A\] và bán kính \[R = a\sqrt 2 .\]

Đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a\] có tâm là giao điểm của hai đường chéo \[AC,\,\,BD\] và bán kính \[R = a\sqrt 2 .\]

Đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a\] có tâm là điểm \[A\] và bán kính \[R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a\] có tâm là giao điểm của hai đường chéo \[AC,\,\,BD\] và bán kính \[R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Cho hình vuông A B C D cạnh a . Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Gọi \[O\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] của hình vuông \[ABCD.\]

Suy ra \[O\] là trung điểm của \[AC\] và \[BD.\]

Do đó \[OA = OC\] và \[OB = OD.\]

Mà \[AC = BD\] (do \[AC\] và \[BD\] là hai đường chéo của hình vuông \[ABCD\]).

Vì vậy \[OA = OC = OB = OD.\]

Vậy bốn điểm \[A,B,C,D\] của hình vuông \[ABCD\] cùng thuộc đường tròn tâm \[O\] bán kính \[OA.\]

Ta có \[AB = BC = a\] (do \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[B,\] ta được:

\[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\]

Suy ra \[AC = a\sqrt 2 .\] Do đó \[OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Vậy đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a\] có tâm là giao điểm của hai đường chéo \[AC,\,\,BD\] và bán kính \[R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Do đó ta chọn phương án D.