Cho hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 có diện tích S 1 . Gọi A n , B n , C n , D n ( n ∈ N , n ≥ 2 ) lần lượt là trung điểm của A n − 1 B n − 1 , B n − 1 C n − 1 , C n − 1 D n − 1 , D n − 1 A

12/19

Cho hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có diện tích \[{S_1}\]. Gọi \[{A_n},\,{B_n},\,{C_n},\,{D_n}\,\,\left( {n \in \mathbb{N},\,n \ge 2} \right)\] lần lượt là trung điểm của \[{A_{n - 1}}{B_{n - 1}},\,{B_{n - 1}}{C_{n - 1}},\,{C_{n - 1}}{D_{n - 1}},\,{D_{n - 1}}{A_{n - 1}}\]. Hình vuông \[{A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\] có diện tích \[{S_n}\]. Tính giới hạn tổng diện tích \[n\] hình vuông đầu tiên.

\[2{S_1}\].

\[S_1^2\].

\[\frac{{{S_1}}}{2}\].

\[{S_1}\].

Giải thích

Chọn A

$Chọn D Đặt \[{A_1}{B_1} (ảnh 1)$

Đặt \[{A_1}{B_1} = a \Rightarrow {S_1} = {a^2}\].

Ta có

\[{A_2}{B_2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,\, \Rightarrow {S_2} = \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{1}{2}{S_1}\]

\[{A_3}{B_3} = \frac{a}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow {S_3} = \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{1}{2}{S_2}\]

\[{A_4}{B_4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\,\, \Rightarrow {S_4} = \frac{{{a^2}}}{8} = \frac{1}{2}{S_3}\]

……….

Suy ra dãy số \[{S_1},\,{S_2},\,{S_3},...,\,{S_n},...\] là cấp số nhân có công bội \[q = \frac{1}{2}\] nên \[{S_n} = {S_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = {S_1}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2{S_1}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]\]

Do đó \[\lim {S_n} = \lim \left( {{S_1}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]} \right) = 2{S_1}\].