Cho hình vẽ

a) Đúng.

\(\Delta ABC\)có: \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}\;\left( { = \frac{2}{6}} \right)\) nên \(BC\;{\rm{//}}\;DE\)(định lí Thalès đảo).

b) Đúng.

Vì \(BC\;{\rm{//}}\;DE\) nên \(\widehat {ADE} = \widehat B = 60^\circ \) (hai góc đồng vị).

Tam giác \(ADE\) có: \(AD = AE\;\left( { = 2\;{\rm{cm}}} \right)\) nên tam giác \(ADE\) cân tại \(A.\)

Mà \(\widehat {ADE} = 60^\circ \) nên tam giác \(ADE\) đều.

c) Sai.

Tam giác \(AFC\) có: \(IE{\rm{//}}\;FC\)nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AI}}{{AF}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{{2 + 6}} = \frac{1}{4}.\) Vậy \(AI = \frac{1}{4}AF.\)

d) Sai.

Vì tam giác \(ADE\) đều nên \(DE = AE = 2\;{\rm{cm}}.\)

\(\Delta ABC\) có: \(AB = AC\left( { = 2 + 6 = 8\;{\rm{cm}}} \right)\) nên \(\Delta ABC\)cân tại \(A.\)

Mà \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(\Delta ABC\)đều. Do đó, \(BC = AB = 8\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Vì \(BC\;{\rm{//}}\;DE,\;AF \bot BC\) nên \(AF \bot DE.\)

Diện tích \(\Delta ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AF \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot 8 = 4AF.\)

Diện tích \(\Delta ADE\) là: \({S_{ADE}} = \frac{1}{2}AI \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot AI \cdot 2 = AI.\)

Ta có: \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AI}}{{4AF}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} = \frac{1}{{16}}.\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) gấp \(16\) lần diện tích tam giác \(ADE.\)