Cho hình tứ diện A B C D có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai?

11/22

Cho hình tứ diện \[ABCD\] có trọng tâm \[G\]. Mệnh đề nào sau đây sai?

\[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\].

\[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\].

\[\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\].

\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \].

Giải thích

Theo giả thiết trên thì với \(O\) là một điểm bất kỳ ta luôn có: \[\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\].

Ta thay điểm \(O\) bởi điểm \(A\) thì ta có:

\[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\]

Do vậy \[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\] là sai.