Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm
10/10
Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, CB và J, L, K, M lần lượt là giao điểm của HE với BD, EF với AC, FG với BD, GH với AC.
Khẳng định nào sau đây là sai ?
\(\overrightarrow {JL} \ne \overrightarrow {GD} \);
\(\overrightarrow {JL} = \overrightarrow {MK} \);
\(\overrightarrow {JL} = \overrightarrow {BE} \);
\(\overrightarrow {JL} \ne \overrightarrow {LK} \).
Đáp án đúng là: A.
Xét tam giác ABD có:
AB = AD (do ABCD là hình thoi)
Do đó, tam giác ABD cân tại A.
E là trung điểm của AB
F là trung điểm của AD
Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ABD.
Lại có AI là đường cao của tam giác cân ABD (do I là giao hai đường chéo của hình thoi nên AC vuông góc với BD tại I)
Mà EF cắt AI tại L.
Từ đó ta suy ra L là trung điểm của AI.
Xét tam giác BAC có:
BA = BC (do ABCD là hình thoi)
Do đó, tam giác BAC cân.
E là trung điểm của AB
H là trung điểm của BC
Do đó, EH là đường trung bình của tam giác BAC.
Tương tự, BI là đường cao của tam giác BAC.
Mà EH cắt BI tại J
Từ đó suy ra J là trung điểm của BI.
Xét tam giác AIB có:
J là trung điểm của BI
L là trung điểm của AI
Do đó, JL là đường trung bình của tam giác AIB
\( \Rightarrow JL = \frac{1}{2}AB\) (1), JL // AB (2)
Xét hình thoi ABCD có:
AB = CD (3)
AB // CD (4)
Do G là trung điểm của CD nên ta có: \(GD = \frac{1}{2}CD\) (5)
Từ (1), (3), (5) ta suy ra: JL = GD nên \(\left| {\overrightarrow {JL} } \right| = \left| {\overrightarrow {GD} } \right|\) (6)
Từ (2), (4) và (6) ta suy ra: \(\overrightarrow {JL} = \overrightarrow {GD} \) (do chúng cùng phương, cùng hướng và có độ dài bằng nhau).
Vậy A sai.