Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc với CD tại F

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại trung điểm O của BD.

Suy ra AC là đường trung trực của BD. Do đó BM = DM, BN = DN.

Do ABCD là hình thoi nên BA = BC, \(\widehat {BAE} = \widehat {BCF}\).

Xét ∆ABE vuông tại E và ∆BCF vuông tại F có:

BA = BC, \(\widehat {BAE} = \widehat {BCF}\).

Do đó ∆ABE = ∆BCF  (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {CBF}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (do ABCD là hình thoi nên BD là đường phân giác của góc ABC) , suy ra \(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}\).

Xét ∆MBO vuông tại O và ∆NBO vuông tại O có:

\(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}\), cạnh BO chung

Do đó ∆MBO = ∆NBO  (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra BM = BN (hai cạnh tương ứng)

Mà BM = DM và BN = DN, suy ra BM = DM = BN = DN.

Tứ giác BMDN có BM = DM = BN = DN nên BMDN là hình thoi.