Cho hình thang cong \(\left( {\rm{H}} \right)\) giới hạn bởi các đường \({\rm{y}} = {{\rm{e}}^{\rm{x}}}\), \(y = 0,\,\,x = 0\) và \(x = \ln 4\).
43/150
Cho hình thang cong \(\left( {\rm{H}} \right)\) giới hạn bởi các đường \({\rm{y}} = {{\rm{e}}^{\rm{x}}}\), \(y = 0,\,\,x = 0\) và \(x = \ln 4\). Đường thẳng \(x = k\)\(\left( {0 < k < \ln 4} \right)\) chia \(\left( {\rm{H}} \right)\) thành hai phần có diện tích là \({{\rm{S}}_1},\;\,\,{{\rm{S}}_2}\) và như hình vẽ bên. Biết với \({\rm{k}} = \ln \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\) thì \({S_1} = {S_2}.\) Tính \({\rm{a}} + {\rm{b}}{\rm{.}}\)
Đáp án: ……….
Dựa vào hình vẽ ta có: \({S_1} = \int\limits_0^k {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_0^k = {e^k} - 1\,;\,\,{S_2} = \int\limits_k^{\ln 4} {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_k^{\ln 4} = 4 - {e^k}\).
Theo đề ra: \({{\rm{S}}_1} = {{\rm{S}}_2} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{\rm{k}}} - 1 = \left( {4 - {{\rm{e}}^{\rm{k}}}} \right) \Leftrightarrow 2{{\rm{e}}^{\rm{k}}} = 5 \Leftrightarrow {\rm{k}} = \ln \frac{5}{2} \Rightarrow {\rm{a}} + {\rm{b}} = 7\).
Đáp án: 7.