Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.

⦁ Từ A, B lần lượt kẻ AH, BK vuông góc với CD (H, K ∈ CD).

Ta có AH ⊥ CD, AB // CD nên AH ⊥ AB.

Xét ∆AHD và ∆BKC có:

\(\widehat {AHD} = \widehat {BKC} = 90^\circ ,\) AD = BC và \(\widehat {ADH} = \widehat {BCK}\) (do ABCD là hình thang cân)

Do đó ∆ADH = ∆BCK (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra DH = CK (hai cạnh tương ứng).

⦁ Xét tứ giác ABKH có: \[\widehat {AHK} = \widehat {BKH} = \widehat {HAB} = 90^\circ \] nên ABKH là hình chữ nhật.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và HK.

Suy ra EF là đường trung trực của AB và HK.

Ta có DH = CK và HF = KF nên DF = CF, do đó F là trung điểm của DC.

Suy ra EF cũng là đường trung trực của CD.

⦁ Gọi M là trung điểm của AD. Vẽ đường trung trực MO của AD, MO cắt EF tại O.

Khi đó, O nằm trên đường trung trực của AB, AD, DC nên OA = OB, OA = OD, OD = OC

Suy ra OA = OB = OC = OD hay A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O; OA).

Vậy hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O; OA).