Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: a) ∆AOB cân tại O. b) ∆ABD = ∆BAC. c) EC = ED. d) OE là đường tr

Lời giải:

a) ABCD là hình thang cân 

\( \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {ADC} \Leftrightarrow \widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)

\(\Delta ODC,\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)

⇒ΔODC cân tại O⇒OC=OD

Mà AD=BC (ABCD là hình thang cân)⇒OA=OB⇒ΔOAB cân tại O

b) ABCD là hình thang cân

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {ABC}\)

Xét ∆BAD và ∆ABC: BA chung; AD = BC; \(\widehat {BAD} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta BAD = \Delta ABC\)

c) ∆BAD = ∆ABC \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

Mà \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD} \Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{C_2}}\)

⇒ΔDEC cân tại E

d) EC=ED

Mà AC=BD (ABCD là hình thang cân)

⇒EA= EB

Lại có OA=OB

⇒OE là đường trung trực AB

OD=OC; EC=ED

⇒OE là đường trung trực CD.