Cho hình thang ABCD, lấy điểm M trên đường chéo AC sao cho AM = 2 × MC. Lấy điểm N trên cạnh CD sao cho BDNM là hình thang. a) So sánh diện tích hai tam giác BDN và BDM. b) Tính tỉ số  

a) Vì BDNM là hình thang nên SBDN = SBMD (hai tam giác có chung đáy BD, chiều cao hạ từ N xuống BD bằng chiều cao hạ từ M xuống BD cùng bằng chiều cao hình thang BDNM ).

b) Vì AM = 2 × MC nên S_ABM = 2 × S_BMC (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ B xuống AC).

Vì AM = 2 × MC nên S_ANM = 2 x S_MNC (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N xuống AC).

Suy ra S_ABMN = S_ABM  + S_ANM = 2 × S_BMC + 2 × S_MNC = 2 × (S_BMC + S_MNC)

Mà S_ABMN = S_NAB + S_NMB và S_NAB = S_DAB nên S_DAB + S_NMB = 2 × (S_BMC + S_MBC)

⇒ S_DAB = 3 × S_NMB = 2 × (S_BMC +S_MNC + S_NMB) = 2 × S_BNC (1)

Lại có S_ADC = 3 × S_MDC (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ D xuống AC và AM = 2 × MC)

Mà hai tam giác này có chung đáy CD nên chiều cao hạ từ A xuống CD gấp 3 lần chiều cao hạ từ M xuống CD.

Mặt khác, chiều cao hạ từ A xuống CD bằng chiều cao hạ từ B xuống CD

⇒ Chiều cao hạ từ B xuống CD gấp 3 lần chiều cao hạ từ M xuống CD.

Do đó S_BDN = 3 × S_MDN

Vì BDNM là hình thang nên S_MDN = S_NMB

⇒ S_BDN = 3 × S_NMB

Thay vào (1) ta được S_DAB + S_BDN = 2 × S_BNC

⇒ S_ABND = 2 × S_BNC ⇒ SABNDSBNC = 2