Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, góc BAC = góc CAD=. Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D = 60^0

Lời giải

Tia AB cắt DC tại E.

Þ AC là tia phân giác của \[\widehat {DAE}\] (gt)

AC^ CD Þ AC ^ DE.

Tam giác ADE có AC là đường cao vừa là đường phân giác nên ∆ADE là tam giác cân tại A.

Lại có: \(\widehat {ADC} = \widehat {ADE} = 60^\circ \)Þ ΔADE là tam giác đều.

Þ C là trung điểm của DE (DoAC đồng thời là trung tuyến) .

Mà: BC//AD Þ BC là đường trung bình của ΔADE.

Ta có: \(AB = DC = \frac{{AD}}{2};\;BC = \frac{{AD}}{2}\).

Giả thiết: AB+BC+CD+AD=20

\( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{2} + \frac{{AD}}{2} + \frac{{AD}}{2} + AD = 20\)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{2}AD = 20 \Leftrightarrow AD = 8\).