Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi 1/4 cung tròn của đường tròn tâm O (0;0) và bán kính bằng 4, parabol (P \ri) có tọa độ đỉnh
13/25
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi \(\frac{1}{4}\) cung tròn của đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính bằng \(4\), parabol \(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh \(I\left( {2;2} \right)\) và đi qua gốc tọa độ \(O\), các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 4\) như hình vẽ.
1. Đường tròn có phương trình là \({x^2} + {y^2} = 4\).
2. Parabol có phương trình là \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} + 2x\).
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\), trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x = 4\) bằng \(\frac{8}{3}\).
4. Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) bằng \(16\left( {\pi - \frac{1}{3}} \right)\).
1. Sai. Đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là \({x^2} + {y^2} = {4^2}\).
2. Đúng. Gọi phương trình của parabol \(y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\).
Vì parabol đi qua các điểm \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {4;0} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {2;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{4a + 2b = 2}\end{array}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{1}{2}}\\{b = 2}\end{array}}\\{c = 0}\end{array}} \right.\).
Suy ra phương trình của parabol là: \(y = - \frac{1}{2}{x^2} + 2x = - 0,5{x^2} + 2x\).
3. Sai. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\), trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x = 4\) là
\({S_P} = \int\limits_0^4 {\left( { - 0,5{x^2} + 2x} \right){\rm{d}}x = \frac{{16}}{3}} \).
4. Sai. Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \({S_H} = \int\limits_0^4 {\left[ {\sqrt {16 - {x^2}} - \left( { - 0,5{x^2} + 2x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \approx 7,23\).