Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = √ tan x , y = 0 , x = 0 , x = pi/ 4 quay xung quanh trục Ox . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.

Chọn A

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx}  = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \)\( =  - \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} \)

\( = \left. { - \pi \ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} =  - \pi \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\[ =  - \pi \ln \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]\[ =  - \pi \left( {\ln 1 - \ln \sqrt 2 } \right)\]\[ = \frac{\pi }{2}\ln 2\].