Cho hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Phát biểu | Đúng | Sai |
Bán kính đáy của hình nón bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) . | ¡ | ¤ |
Diện tích xung quanh hình nón đã cho bằng \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\). | ¤ | ¡ |
Thể tích của khối nón đã cho bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\). | ¡ | ¤ |
Giải thích
Giả sử hình nón ngợi tiếp tứ diện đều ABCD cạnh \(a\) như hình vẽ trên. Ta có:
+) Bán kính đáy \(R = OC = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
+) Độ dài đường sinh \(l = AC = a\).
+) Chiều cao của khối chóp là \(h = AO = \sqrt {{{\left. {A{B^2} - \frac{{BC\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy:
+) Diện tích xung quanh hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\).
+) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\)