Cho hình nón có chiều cao \(h = 10\) và bán kính đáy \(r = 5\). Xét hình trụ có một đáy nằm trên hình tròn đáy của hình nón, đường tròn đáy còn lại nằm

Theo bài ra ta có \(SO = 10\,,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,OA = 5\).

Đặt \(O'A' = r{\rm{ }}\left( {0 < r < 5} \right)\)

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

\(\frac{{O'A'}}{{OA}} = \frac{{SO'}}{{SO}} \Rightarrow \frac{r}{5} = \frac{{SO'}}{{10}} \Leftrightarrow SO' = 2r \Rightarrow OO' = 10 - 2r\)

Khi đó thể tích khối trụ là:

 \(V = \pi  \cdot O'{A'^2} \cdot OO' = \pi  \cdot {r^2}\left( {10 - 2r} \right) = 2\pi \left( { - {r^3} + 5{r^2}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( r \right) =  - {r^3} + 5{r^2}\)trên \(\left( {0;5} \right)\)ta có \(f'\left( r \right) =  - 3{r^2} + 10r = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r = 0{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\\r = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy để thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì bán kính khối trụ bằng\(\frac{{10}}{3}\). Chọn B.