Cho hình nón có chiều cao h = 10 và bán kính đáy r = 5. Xét hình trụ

24/150

Cho hình nón có chiều cao \(h = 10\) và bán kính đáy \(r = 5\). Xét hình trụ có một đáy nằm trên hình tròn đáy của hình nón, đường tròn đáy còn lại nằm trên mặt xung quanh của hình nón sao cho thể tích khối trụ lớn nhất. Khi đó, bán kính đáy của hình trụ bằng:

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{{10}}{3}\)

\(\frac{5}{3}\)

\(\frac{{15}}{4}\)

Giải thích

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Đặt bán kính khối trụ là \(r\). Sử dụng định lí Ta-lét tính chiều cao khối trụ theo \(r\).

- Tính thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\).

Giải chi tiết:

Cho hình nón có chiều cao h = 10 và bán kính đáy r = 5. Xét hình trụ (ảnh 1)

Theo bài ra ta có \(SO = 10,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OA = 5\)

Đặt \(O'A' = r{\rm{ }}\left( {0 < r < 5} \right)\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\frac{{O'A'}}{{OA}} = \frac{{SO'}}{{SO}} \Rightarrow \frac{r}{5} = \frac{{SO'}}{{10}} \Leftrightarrow SO' = 2r \Rightarrow OO' = 10 - 2r\)

Khi đó thể tích khối trụ là: \(V = \pi .O'{A'^2}.OO' = \pi .{r^2}\left( {10 - 2r} \right) = 2\pi \left( { - {r^3} + 5{r^2}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( r \right) = - {r^3} + 5{r^2}\)trên \(\left( {0;5} \right)\)ta có \(f'\left( r \right) = - 3{r^2} + 10r = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r = 0{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\\r = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy để thể tích khối trụ đạt GTLN thì bán kính khối trụ bằng \(\frac{{10}}{3}\).