Cho hình nón có chiều cao bằng a. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng

Hướng dẫn giải:

Gọi thiết diện qua đỉnh là tam giác vuông cân SAB và gọi \(H\) là trung điểm AB.

Kẻ \(OK \bot SH \Rightarrow d(O,(SAB)) = OK = \frac{a}{3}\) và ta có \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Do tam giác SAB vuông cân tại \(S \Rightarrow AH = SH = SH = \sqrt {S{O^2} + O{H^2}}  = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).

\( \Rightarrow OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2}.a = \frac{{5\pi {a^3}}}{{12}}\).

Vậy thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng \(\frac{{5\pi {a^3}}}{{12}}\).

 Chọn B