Không gian mẫu. Mỗi kết quả của phép thử được xác định bởi số đặt ở vòng tròn lớn và tập hợp ba số đặt ở ba vòng tròn nhỏ (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Số ở vòng tròn lớn có \(12\) cách chọn, ba số còn lại có \(C_{11}^3 = 165\) cách chọn. Do đó

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 12 \cdot 165 = 1980.\)

Đếm kết quả thuận lợi. Gọi ba số ở ba vòng tròn nhỏ, sắp xếp tăng dần, là \(b - k,\,\,b,\,\,b + k\) với \(k \in {\mathbb{N}^ * }\).

Tổng của chúng bằng \(3b\), nên số ở vòng tròn lớn là \(3b\).

Điều kiện cần là \(1 \le b - k\), \(b + k \le 12\), \(3b \le 12\) và \(3b\) khác cả ba số \(b - k,\,\,b,\,\,b + k\).

Từ \(3b \le 12\) suy ra \(b \le 4\); từ \(b - k \ge 1\) suy ra \(k \le b - 1\), nên \(b \ge 2\).

\(b = 2:\,\,k = 1\), được bộ \(\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\), số ở giữa là \(6\) (thỏa mãn).

\(b = 3:\,\,k \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\), được các bộ \(\left\{ {2;\,\,3;\,\,4} \right\}\), \(\left\{ {1;\,\,3;\,\,5} \right\}\), số ở giữa là \(9\) (thỏa mãn).

\(b = 4:\,\,k \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\), được các bộ \(\left\{ {3;\,\,4;\,\,5} \right\}\), \(\left\{ {2;\,\,4;\,\,6} \right\}\), \(\left\{ {1;\,\,4;\,\,7} \right\}\), số ở giữa là \(12\) (thỏa mãn). Trong mọi trường hợp, điều kiện \(b + k \le 12\) đều được thỏa mãn.

Vậy số kết quả thuận lợi là \(1 + 2 + 3 = 6\).

\(P = \frac{6}{{1980}} = \frac{1}{{330}}\), do đó \(33990P = \frac{{33990}}{{330}} = 103\).

Đáp án: 103.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai véc-tơ AB và DC' bằng