Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a . Gọi G là trọng tâm tam giác B ′C ′D ′ , I là trung điểm của AB ′ .

      Cạnh hình lập phương là \(a \Rightarrow A'D\, = \,a\sqrt 2 .\)

      \[\begin{array}{l}\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'}  + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\end{array}\]

      Ta có: \(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} \) và \(A'D = a\sqrt 2 \) .

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}\]