Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Trên các cạnh CD và BB ′ ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho DM = BN = x với 0 ≤ x ≤ a . Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

13/22

PHẦN 2. CÂU HỎI DẠNG ĐÚNG – SAI (4 CÂU)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Trên các cạnh \[CD\] và \[BB'\] ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho \[DM = BN = x\] với \[0 \le x \le a\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} \)

b) Gọi \[K\] là trung điểm \(AD\) khi đó \(\overrightarrow {C'K} = \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {C'D'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {C'B'} \).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {B'D'} = {a^2}\).

d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AC'} \] và \(\overrightarrow {MN} \) bằng \(60^\circ \).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {C'K} = \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {CK} = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'D'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {C'D'} } \right) = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} \)

c) Sai.

Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {B'D'} = \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'B} } \right).\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {B'B} .\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {B'D'} \]

\( = A'B'.B'D'.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = a.a\sqrt 2 .{\rm{cos}}\left( {135^\circ } \right) = - {a^2}\)

d) Đúng.

Ta đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \]. Ta có \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| = a\]

\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \] hay \[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \]

Mặt khác

\[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} } \right)\] với \[\overrightarrow {BN} = \frac{x}{a}.\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow {DM} = \frac{x}{a}.\overrightarrow b \]

Do đó \[\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow b + \frac{x}{a}\overrightarrow a } \right) - \left( {\overrightarrow c + \frac{x}{a}\overrightarrow b } \right) = \frac{x}{a}\overrightarrow a + \left( {a - \frac{x}{a}} \right)\overrightarrow b - \overrightarrow c \]

Ta có \[\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\left[ {\frac{x}{a}\overrightarrow a + \left( {a - \frac{x}{a}} \right)\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right]\]

Vì \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0,\overrightarrow a .\overrightarrow c = 0,\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0\] nên ta có

\[\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = \frac{x}{a}{\overrightarrow a ^2} + \left( {1 - \frac{x}{a}} \right){\overrightarrow b ^2} - {\overrightarrow c ^2} = x.a + \left( {1 - \frac{x}{a}} \right){a^2} - {a^2} = 0\], vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AC'} \] và \(\overrightarrow {MN} \) bằng \(90^\circ \).