Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Ta có AB.A'C' bằng

7/22

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A'C'} \) bằng

\({a^2}\).

\(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).

\({a^2}\sqrt 3 \).

\({a^2}\sqrt 2 \).

Giải thích

Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông cạnh \(a\) và các cạnh đối song song với đáy dưới nên ta có \(\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \).

Do đó tích vô hướng trở thành: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).

Ta có độ dài các đoạn thẳng: \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông cạnh \(a\)).

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) chính là \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).

Áp dụng định nghĩa tích vô hướng:

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = {a^2}\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).

Chọn A.