Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng (BDA') và (ABCD) bằng

28/48

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Giá trị \(\sin \) của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

\(\frac{{\sqrt 6 }}{4}\).

\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng (BDA') và (ABCD) bằng (ảnh 1)

Gọi \(I = AC \cap BD\).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD \bot AI\).

Vì \(AA' \bot (ABCD) \Rightarrow AA' \bot BD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AI\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AIA'} \right) \Rightarrow BD \bot A'I\)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {AIA'}\).

Ta có: \(\Delta AA'I\) vuông tại \(A\), có:

\(AA' = a;AI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow A'I = \sqrt {A{{A'}^2} + A{I^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \sin \widehat {AIA'} = \frac{{AA'}}{{A'I}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).