Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 2. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng chứa đường chéo AC'. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.

Phương pháp giải:  Gắn hệ trục tọa độ Oxyz để giải bài toán

Giải chi tiết:

Giả sử mặt phẳng chứa AC’ cắt hình lập phương theo thiết diện là tứ giác AEC’F.

(\(E \in A'B';F \in CD\))

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(AEC'F) \cap (ABCD) = AF}\\{(AEC'F) \cap (A'B'C'D') = AF//EC'}\\{(ABCD)//(A'B'C'D')}\end{array}} \right.\)

Tương tự ta  chứng minh được AE // FC’

\( \Rightarrow \)AEC’F là hình bình hành \( \Rightarrow \) \({S_{AEC'F}}\, = \,2{S_{AEC'}}\)

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho

A′(0;0;0); B′(2;0;0); C′(2;2;0); D′(0;2;0); A(0;0;2); B(2;0;2); A′(0;0;0); B′(2;0;0); C′(2;2;0); D′(0;2;0); A(0;0;2); B(2;0;2); C(2;2;2); D(0;2;2); C(2;2;2); D(0;2;2).

Gọi E(x;0;0) \((0 \le x \le 2)\)ta có:

 Ta có: \[{x^2}\, - \,2x\, + \,4\, = \,\,{\left( {x\, - \,1} \right)^2}\, + \,3\, \ge \,3\, \Rightarrow \,{S_{ABC'}}\, \ge \,\frac{1}{2}\,\sqrt {8.\,3} \, = \,\sqrt 6 \]

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = 1\), khi đó \({S_{AEC'\,\min }} = \,\sqrt 6 \, \Rightarrow \,{S_{AEC'F\,\min }}\, = \,2\sqrt 6 \)

Chọn D.