Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.

5/12

a) Tính các tích vô hướng: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} {\rm{.}}\overrightarrow {CC'} \].

b) Tính góc \[\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'} } \right)\] (kết quả làm tròn đến phút).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1. (ảnh 1)

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} $.

Do đó $(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = (\vec{A^{'} B^{'}}, \vec{A^{'} C^{'}}) = B^{'} A^{'} C^{'} = 45^{°}$ (do ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình vuông nên ${A^\prime }{C^\prime }$ là̀ phân giác của góc $\left. {{D^\prime }{A^\prime }{B^{\prime \prime }}} \right)$.

Ví ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình vuông cạnh bẳng 1 nên ${A^\prime }{C^\prime } = \sqrt 2 $.

Ta có $\vec{A B} \cdot \vec{A^{'} C^{'}} = | \vec{A B} | \cdot |\vec{A^{'} C^{'}}| \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 45^{°} = 1$

Vì ${\rm{AC}}{{\rm{C}}^\prime }{A^\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {A{A^\prime }} $.

Do đó $(\vec{A B}, \vec{C C^{'}}) = (\vec{A B}, \vec{A A^{'}}) = B A A^{'} = 90^{°}$

Do đó $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {C{C^\prime }} $. Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {C{C^\prime }} = 0$.

b) $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{C^\prime }} } \right) = CA{C^\prime }$.

Ta có $A{C^\prime }$ là đường chéo của hình lập phương cạnh bẳng 1 nên $A{C^\prime } = \sqrt 3 $.

${\rm{AC}}$ là đường chéo của hình vuông ${\rm{ABCD}}$ cạnh bằng 1 nên $AC = \sqrt 2 $.

Xét ${\rm{DACC}}$ có $\cos C A C^{'} = \frac{A C^{2} + A C^{2} - C C^{2}}{2 \cdot A C \cdot A C^{'}} = \frac{2 + 3 - 1}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow C A C^{'} \approx 35^{°} 16^{'}$

Vậy $(\vec{A C}, \vec{A C^{'}}) \approx 35^{°} 16^{'}$