Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính côsin góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABB'A').

Đáp án đúng là: B

Ta có: 

BC ⊥ AB (do ABCD là hình vuông)

BC ⊥ AA' (do AA' ⊥ (ABCD))

Suy ra: BC ⊥ (ABB'A').

Hình chiếu vuông góc của C lên (ABB'A') là B

Mà A'C ∩ (ABB'A') = A'.

Do đó, ta có: $\left(A\text{'}C,\left(ABB\text{'}A\text{'}\right)\right)=\left(A\text{'}C,A\text{'}B\right)=\widehat{BA\text{'}C}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABA' ta có:

A'B² = AB² + AA'² = 1² + 1² = 2

$\Rightarrow A\text{'}B=\sqrt{2}$

Tương tự, ta tính được AC = $\sqrt{2}$.

Từ đó suy ra A'C = $\sqrt{3}$ (định lí Pythagore trong tam giác vuông A'AC).

Xét tam giác A'BC vuông tại B có:

$\cos \widehat{BA\text{'}C}=\frac{A\text{'}B}{A\text{'}C}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Vậy côsin góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABB'A') bằng $\frac{\sqrt{6}}{3}$.