Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng 15

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(C'D'\) và \(E = NI \cap A'C'\).

Khi đó \(NI \bot A'C'\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(ME\). Dễ có \(OH \bot \left( {MNI} \right)\).

Do \(B'D'{\rm{//}}\left( {MNI} \right),\,MN \subset \left( {MNI} \right) \Rightarrow d\left( {MN\,,\,B'D'} \right) = d\left( {\,B'D',\,\left( {MNI} \right)} \right) = d\left( {\,O,\,\left( {MNI} \right)} \right) = OH\).

Ta có \(MO = 15,OE = \frac{1}{2}OC' = \frac{1}{4}A'C' = \frac{{15\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow OH = \frac{{MO.OE}}{{\sqrt {M{O^2} + O{E^2}} }} = 5.\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(B'D'\) bằng \(5.\)

Đáp án: 5.