Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a

Vì \(AB\) // \(A'B'\) nên \(\left( {AB,A'C'} \right) = \left( {A'B',A'C'} \right) = \widehat {B'A'C'} = 45^\circ {\rm{. }}\)

Khi đó góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\) bằng \(45^\circ \). Vậy \(\tan \left( {AB,A'C'} \right) = \tan 45^\circ = 1\).

Vì \(CC' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) nên \(\left( {A'C,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = \widehat {C'A'C} = \alpha \).

Xét tam giác vuông \(A'C'C\) có \(\tan \widehat {C'A'C} = \frac{{C'C}}{{C'A'}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Suy ra \(\tan \alpha = \tan \widehat {C'A'C} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\). Vì tam giác \(A'BC'\) đều nên \(BO' \bot A'C'\).

Mà \(B'O' \bot A'C'\). Suy ra số đo góc nhị diện \(\left[ {B,A'C',B'} \right]\) bằng \(\widehat {B'O'B} = \beta \).

Xét tam giác vuông \(B'O'B\) có \[\tan \widehat {B'O'B} = \frac{{B'B}}{{B'O'}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \]. Vậy \(\tan \beta = \sqrt 2 \).

Vì \(B'D' \bot \left( {A'C'C} \right)\) nên \(B'D' \bot A'C\). Do \(AD' \bot \left( {A'DC} \right)\) nên \(AD' \bot A'C\).

Suy ra \(A'C \bot \left( {AB'D'} \right)\).

Gọi \(H\) là giao điểm của \(A'C\) và \(\left( {AB'D'} \right)\). Khi đó, số đo góc nhị diện \[\left[ {B',A'C,D'} \right]\] bằng \(\widehat {B'HD'}\).

Vì tứ diện \(A'D'B'A\) có \(A'B' = A'D' = A'A\) mà \(A'H \bot \left( {AB'D'} \right)\) nên \(HA = HB' = HD'\), suy ra \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(AB'D'\). Suy ra \(\widehat {B'HD'} = 120^\circ \). Ta có \(\tan 120^\circ = - \sqrt 3 \).

Vậy tang của góc nhị diện \(\left[ {B',A'C,D'} \right]\) bằng \( - \sqrt 3 \).

Đáp án: 1 – C; 2 – F; 3 – D; 4 – A.