Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm

35/150

Cho hình lập phương \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có độ dài cạnh bằng 1. Gọi \[M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\] lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC,\,\,C'D',\,\,DD'.\) Gọi thể tích khối tứ diện \[MNPQ\] là phân số tối giản \(\frac{a}{b}\), với \(a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}.\) Tính \(a + b.\)

Giải thích

Media VietJack

Thiết lập hệ tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ, gốc \(O \equiv A'\,;\,Ox \equiv A'B'\,\,;\,Oy \equiv AA'\,;\,Oz \equiv A'D'.\)

Khi đó \(A'\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,0} \right),\,\,B'\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),D'\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,1} \right).\)

Vì \[M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\] lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC,\,\,C'D',\,\,DD'\) nên

\(M\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}\,;\,\,0} \right),\,\,N\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\,Q\left( {0\,;\,\,\frac{1}{2}\,;\,\,1} \right),\,\,P\left( {\frac{1}{2}\,;\,\,0\,;\,\,1} \right).\)

Ta có \[\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2}\,;\,\,0\,\,;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\,\overrightarrow {MP} = \left( { - \frac{1}{2}\,\,;\,\, - \frac{1}{2}\,\,;\,\,1} \right),\,\,\overrightarrow {MQ} = \left( {0\,\,;\,\, - 1\,\,;\,\,1} \right).\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} \,,\,\,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\frac{1}{4}\,;\,\, - \frac{3}{4}\,;\,\, - \frac{1}{4}} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} \,,\,\,\overrightarrow {MP} } \right] \cdot \overrightarrow {MQ} = \frac{1}{2}\].

Suy ra \({V_{MNPQ}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} \,,\,\,\overrightarrow {MP} } \right] \cdot \overrightarrow {MQ} } \right| = \frac{1}{{12}} \Rightarrow a = 1\,;\,\,b = 12 \Rightarrow a + b = 13.\) Chọn C.