$Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(SA = 4,AB = 1,AD = 2\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {DM} \). (ảnh 1)$

Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AB,SA \bot AD\). Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD\).

Do đó, đặt \(\overrightarrow {AS} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \) thì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4,\left| {\overrightarrow b } \right| = 1,\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow a = 0\)

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}}\).

Do \(\overrightarrow {SC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AS} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AS} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \) và \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c \) nên:

\[\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {DM} = \left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c + \frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} - \overrightarrow b .\overrightarrow c + \frac{1}{2}.\overrightarrow c .\overrightarrow b - {\overrightarrow c ^2} = \frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} - {\overrightarrow c ^2} = \frac{1}{2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow c } \right|^2}\]

\[ = \frac{1}{2}{.1^2} - {2^2} = - \frac{7}{2}\];

\({\left| {\overrightarrow {SC} } \right|^2} = {\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b - 2\overrightarrow a \overrightarrow c + 2\overrightarrow b \overrightarrow c = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {4^2} + {1^2} + {2^2} + = 21\)

\({\left| {\overrightarrow {DM} } \right|^2} = {\overrightarrow {DM} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)^2} = \frac{1}{4}{\overrightarrow b ^2} - \overrightarrow b \overrightarrow c + {\overrightarrow c ^2} = \frac{1}{4}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = \frac{1}{4}.1 + {2^2} = \frac{{17}}{4}\).

Suy ra:

\(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{ - \frac{7}{2}}}{{\sqrt {21} .\sqrt {\frac{{17}}{4}} }} = - \frac{{\sqrt {357} }}{{51}} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {DM} } \right) \approx 111,75^\circ \).

Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {DM} \) là khoảng \(111,75^\circ \).

Cho hình lập phương A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ có độ dài cạnh là a . Khi đó −−→ A B . −−→ A D bằng