Cho hình lập phương A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ có diện tích tam giác A C D ′ bằng a 2 √ 3 . Tính thể tích V của hình lập phương.

91/100

Cho hình lập phương $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ có diện tích tam giác $AC{D^\prime }$ bằng ${a^2}\sqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của hình lập phương.

$V = 3\sqrt 3 {a^3}$.

$V = 2\sqrt 2 {a^3}$.

$V = {a^3}$.

$V = 8{a^3}$.

Giải thích

Phương pháp giải

Lời giải

$Cho hình lập phương $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ có diện tích tam giác $AC{D^\prime }$ bằng ${a^2}\sqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của hình lập phương. A. $V = 3\sqrt 3 {a^3}$. B. $V = 2\sqrt 2 {a^3}$. C. $V = {a^3}$. D. $V = 8{a^3}$. (ảnh 1)$

Giả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là x.

Ta có $AC = x\sqrt 2 ,OD' = \sqrt {O{D^2} + A'{A^2}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{2}$

${S_{ACD'}} = \frac{1}{2}OD'.AC = \frac{1}{2}x\sqrt 2 .\frac{{x\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}$

$ \Rightarrow {a^2}\sqrt 3 = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}$

$ \Leftrightarrow {a^2} = \frac{{{x^2}}}{2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 $

$ \Rightarrow V = {x^3} = 2{a^3}\sqrt 2 $

Chọn B