Cho hình lập phương A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ có cạnh bằng a . Đặt −−→ A B = → x ; −−→ A D = → y ; −−→ A A ′ = → z . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây: a) −−→ A C ′ = → x + → y

a)Đ                  b) S                    c) S                       d Đ

a) Đúng.

Theo quy tắc hình hộp ta có  \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z \).

b) Sai.

Theo quy  tắc 3 điểm ta có \(\overrightarrow {A'B}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow x  - \overrightarrow z \).

c) Sai.

Vì hình lập phương có cạnh bằng \(a\) nên \(A'B = A'C' = C'B = a\sqrt 2 \), do đó tam giác \(A'BC'\) đều, nên \(\angle BA'C' = {60^\bigcirc } \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = {180^\bigcirc } - {60^\bigcirc } = {120^\bigcirc }\).

d) Đúng.

Dễ thấy \(ABCD.A'B'C'D'\) nên \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AM \Rightarrow \)tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A\).

 Có \(\left| {\overrightarrow {A'M} } \right| = A'M = \sqrt {A{{A'}^2} + A{M^2}}  = \sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2} + B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{3a}}{2}\).