Cho hình lập phương A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ có cạnh bằng 5 . (a) Tìm góc giữa các cặp vectơ sau: −−→ A C và −−→ A B ; −−→ A C và −−−→ B ′ D ′ ; −−→ A C và −−→ C D ; −−→ A D ′
a) Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {CAB} = 45^\circ \); \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD'} } \right) = 90^\circ \)
\[\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] (\(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\))
\(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {BC'} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {C'BD}\) mà tam giác \(C'BD\) là tam giác đều nên khi đó ta có \(\widehat {C'BD} = 60^\circ \).
b) Ta có \(AC = BD = B'D' = 5\sqrt 2 \) suy ra:
.
Do \(AC\) vuông góc với \(B'D'\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} = 0\).
.
c) Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} = 0\)
Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {A{B^2}} + \overrightarrow {A{D^2}} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} = {5^2} - {5^2} = 0\].
Suy ra \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \) (điều phải chứng minh).
Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)