Cho hình lập phương A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ cạnh bằng 1 , có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông A ′ B ′ C ′ D ′ và M là điểm thuộc đoạn O I sao cho M O = 1 2 M I . Gắn hệ trục
7/11
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng\(1\), có tâm \(O\). Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn \(OI\) sao cho \(MO = \frac{1}{2}MI\). Gắn hệ trục tọa độ \(A'xyz\) như hình vẽ.
(a) Toạ độ điểm \(M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}} \right)\).
(b) Toạ độ các điểm \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\) và \(A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).
(c) Trong không gian giả sử điểm \(P,Q\) sao cho \(\overrightarrow {A'P} = \overrightarrow {A'B'} + 2\overrightarrow {A'D'} - 2\overrightarrow {A'A} \); \(\overrightarrow {A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} \) và \(J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(A'PQ\), khi đó \(a - b + c = 0\).
(d) Trong không gian có đúng 2 điểm \(N\) sao cho \(N\) không trùng với các điểm \(A\), \(B'\), \(D'\) và \[\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ \].
a) Sai. Ta có: \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\). Suy ra: \(I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,0} \right)\).
Mặt khác ta có \(O\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {0\,;\,0\,;\, - \frac{1}{6}} \right)\). Vậy \(M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{3}} \right)\).
b) Đúng. Toạ độ các điểm \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\) và \(A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).
c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {A'P} = \overrightarrow {A'B'} + 2\overrightarrow {A'D'} - 2\overrightarrow {A'A} \Rightarrow P\left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow {A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} \Rightarrow Q\left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\).
Suy ra: \(A'P = 3\,,\,A'Q = 4,PQ = 5\).
\(J\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(A'PQ\). Suy ra \(PQ.\overrightarrow {JA'} + A'P.\overrightarrow {JQ} + A'Q.\overrightarrow {JP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {JA'} + 3\overrightarrow {JQ} + 4\overrightarrow {JP} = \overrightarrow 0 \Rightarrow J\left( {1;1;0} \right)\).
Vậy \(a - b + c = 1 - 1 + 0 = 0\).
d) Đúng. Giả sử: \(N\left( {a;b;c} \right)\).
Ta có \[\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {B'N} = 0\\\overrightarrow {D'N} .\overrightarrow {B'N} = 0\\\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {D'N} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {a - 1} \right) + {b^2} + c\left( {c - 1} \right) = 0\\a\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) + {c^2} = 0\\{a^2} + b\left( {b - 1} \right) + c\left( {c - 1} \right) = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c = 0\\a = b = c = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]. Vậy có hai điểm \(N\) thoả mãn điều kiện.